Lógica proposicional

Todo desarrollo matemático exige razonar en forma valida acerca de cosas trascendentales y particularmente abstractas. Antes de empezar con lógica necesitaremos tener en cuenta los siguientes conceptos.

Lógica: ciencia que expone leyes, modos y formas de razonamiento o fases.

Proposición: oración que se puede definir como verdadera o falsa.

Conceptos

Carácter:

·         Bivalentes: la proposición es verdadera o falsa pero no ambos.

·         Extensional: el valor de verdad de la proposición depende del calor de verdad de los componentes.

Principios:

·         Principio de no contradicción: cual sea la proposición no puede ser verdadera y falsa.

·         Principio de tercero excluido: cual sea la proposición es verdadera o falsa.

·         Principio de identidad: las interpretaciones de un mismo enunciado tiene un mismo valor de verdad.

Proposición compuesta: a una proposición se la puede conectar con otra.

Glosario de símbolos

Glosario general

Operaciones proposicionales

Para conocer los valores de verdad de una proposición necesitaremos tener conocimiento de las siguientes tablas de verdad:

Al determinar el valor de verdad de una proposición puede ser de la siguiente manera:

• Tautologia: si la proposición es verdad para todos los valores de verdad asignados.
• Contradicción: si la proposición es falsa para todos los valores de verdad asignados.
• Contingencia: si la proposición es verdadera y falsa para todos los valores de verdad asignado.

Leyes lógicas 

 Circuito lógico

Conector lógico: símbolo que permite operar con composiciones que permitan operar con proposiciones lógicas. Circuitos lógicos

Circuitos lógicos: circuitos que simulan circuitos eléctricos con interruptores (proposiciones) que se cierran permitiendo el paso, o no, de corrientes según el valor de verdad de la proposición.

Ejercicios para resolver aqui

Mas información: https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional

Conjuntos

En este sentido los términos “conjunto”, “pertenencia“y “elemento” son considerados como primitivos, sobre esta base se define la inclusión y la igualdad, y se estudian sus propiedades.

Antes de comenzar necesitaremos tener un pequeño glosarios de símbolos.

Glosario general

Los conjuntos pueden definirse por extensión y por comprensión. 

Un conjunto se determina por extensión si y solo si se enumeran todos los elementos que lo contribuyen. In conjunto se define por comprensión si y solo si se da la propiedad caracteriza a sus elementos.

Ejemplo.

(Los “x” pertenecientes a los números enteros tal que “x” al cuadrado es igual a 1)

Aquí tenemos que reemplazar al x por números de tal manera que llegamos al resultado que pide el conjunto nos pide, y así poder determinar el conjunto por extensión.

        

En caso de que el conjunto se defina en números infinito podemos usar los “…”.

Complementación de un conjunto

Sean A y B subconjuntos del universal.

El complemento de A es el conjunto formado por los elementos de U que no pertenecen a A.

 El diagrama de venn correspondiente es:

Intercepción de conjuntos.

Intercepción de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B.

El diagrama de venn correspondiente es:

Unión de conjuntos.

Unión de dos conjuntos A y B  es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B.

El diagrama de venn correspondiente es:

Leyes de Morgan.

Las leyes de gran aplicación permiten relacionar la competición con la unión e interpretación.

Leyes distributivas.

La unión de conjuntos pueden conectarse a través de dos propiedades fundamentales, llamadas leyes distributivas, que se expresan mediante las formulas.

Vamos a verificar, mediante un diagrama de Venn.

Diferencia de conjuntos.

Diferencia entre 2 conjuntos A y B es el con conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B.

 

El diagrama de Venn correspondiente es:

Propiedad:

La diferencia entre 2 conjuntos es igual a la intersección del primero con el complemento del segundo.

Diferencia simétrica:

Diferencia simétrica de los conjuntos A y B es la unión de los conjuntos A – B y B – A.

El diagrama de Venn correspondiente es:

Producto cartesiano.

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto cuto elementos son todos los pares ordenado cuya primera componente pertenece a A y la segunda a B.

Ejemplo:

El producto cartesiano entre A={1,2,3} y B={1,2}

AxB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}

Inclusión y disyunción.

Ejercicios para resolver aquí.

Mas información: https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto 

Ejercicios de lógica proposicional

Antes unos vídeos para explicarlos:

Respuestas a los ejercicios anteriores 

Ejercicios de conjuntos

Antes un vídeo explicación:

Respuestas a los ejercicios de conjuntos 

Glosario general

Tipos de números.

 En matemáticas un número puede representar una cantidad métrica o más generalmente un elemento de un sistema numérico o un número ordinal que representará una posición dentro de un orden de una serie determinada. El concepto de número incluye conceptos tales como números fraccionarios, negativos, irracionales, trascendentales, complejos, los cuales iremos descendiendo a continuación.

Los números naturales.

Son los más simples y los que se usan para contar unidades discretas, no incluye el 0.

 Los números enteros. Los números naturales, el cero y los números negativos forman el conjunto de los números enteros.

Los números racionales.  

Son el conjunto de todos los números fraccionarios, los racionales positivos, como a los racionales negativos y el cero.

Los números reales.

 Incluye el conjunto de todos los números racionales y los irracionales.

Los números complejos. 

Incluye el conjunto de los números reales junto al conjunto de los números imaginarios (i, 2i, 3i,…).

Podemos resumirlo de la siguiente manera:

Mas información: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero